{ } Sets · Множества Част 1 Част 2

Set theory · Теория на множествата

Множествата в математиката

Множеството е добре определена колекция от различни обекти. Тук всеки термин е на английски, с фонетична транскрипция и български превод. Бутонът за говорител изговаря английската дума.

set /set/ множество element /ˈelɪmənt/ елемент member /ˈmembər/ член
U A B A ∩ B
Venn diagram /ven ˈdaɪəɡræm/ диаграма на Вен

1. Какво е множество

set/set/множество е добре определена collection/kəˈlekʃən/колекция от различни обекти. Обектите се наричат elements/ˈelɪmənts/елементи или members/ˈmembərz/членове.

„Добре определена“ означава, че за всеки обект може еднозначно да се каже дали принадлежи, или не принадлежи на множеството. Повторенията не се броят: {2, 2, 5} е същото като {2, 5}. Редът няма значение: {3, 1, 4} = {1, 3, 4}.

Принадлежност: belongs to/bɪˈlɒŋz tuː/принадлежи на се пише a ∈ A. Отрицанието е a ∉ A (does not belong to/dʌz nɒt bɪˈlɒŋ tuː/не принадлежи на).

Основни символи
Символ Английски термин Значение Пример
{ } set braces/set ˈbreɪsɪz/фигурни скоби ограждат елементите A = {1, 2, 3}
∈ element of/ˈelɪmənt ɒv/елемент на принадлежи 2 ∈ A
∉ not an element of/nɒt ən ˈelɪmənt ɒv/не е елемент на не принадлежи 7 ∉ A
|A| или n(A) cardinality/ˌkɑːrdɪˈnæləti/мощност, брой елементи колко елемента има |A| = 3
∅ или { } empty set/ˈempti set/празно множество няма елементи |∅| = 0
U universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/универсално множество рамката, в която работим всички разглеждани обекти

2. Начини за задаване на множество

Едно и също множество може да се опише по три класически начина.

roster method/ˈrɒstər ˈmeθəd/метод чрез изброяване

Елементите се изреждат в скоби.

A = {2, 4, 6, 8}

set-builder notation/set ˈbɪldər noʊˈteɪʃən/конструктивен запис

Дава се свойство, което елементите удовлетворяват.

A = { x ∈ ℕ | x е четно и x ≤ 8 }

descriptive method/dɪˈskrɪptɪv ˈmeθəd/описателен метод

Множеството се описва с думи.

A = множеството на четните естествени числа до 8

Често срещани числови множества
Символ Термин Описание
ℕ natural numbers/ˈnætʃrəl ˈnʌmbərz/естествени числа {1, 2, 3, …} (понякога включва и 0)
ℤ integers/ˈɪntɪdʒərz/цели числа {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
ℚ rational numbers/ˈræʃənl ˈnʌmbərz/рационални числа дроби p/q, където q ≠ 0
ℝ real numbers/rɪəl ˈnʌmbərz/реални числа всички точки на числовата ос
ℂ complex numbers/ˈkɒmpleks ˈnʌmbərz/комплексни числа числа от вида a + bi

Веригата на включване: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

3. Видове множества

Класификация
Вид Определение Пример
empty set/ˈempti set/празно Няма нито един елемент. Нарича се още null set/nʌl set/нулево множество. ∅ = { }
singleton/ˈsɪŋɡəltən/едноелементно Съдържа точно един елемент. {7}
finite set/ˈfaɪnaɪt set/крайно Броят на елементите е естествено число. {a, b, c}, |A| = 3
infinite set/ˈɪnfɪnɪt set/безкрайно Елементите не могат да се изброят докрай. ℕ, ℝ
equal sets/ˈiːkwəl sets/равни Съдържат точно същите елементи. {1, 2} = {2, 1}
equivalent sets/ɪˈkwɪvələnt sets/еквивалентни Имат еднаква мощност, но не непременно едни и същи елементи. {1, 2} ~ {a, b}
disjoint sets/dɪsˈdʒɔɪnt sets/непресичащи се Нямат общи елементи: сечението им е празно. {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅
universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/универсално Съдържа всички обекти от даден контекст. ако говорим за цифри, U = {0,…,9}

4. Отношения между множества

subset/ˈsʌbset/подмножество : A ⊆ B означава, че всеки елемент на A е и елемент на B. proper subset/ˈprɒpər ˈsʌbset/собствено подмножество A ⊂ B значи още, че A ≠ B. Обратното отношение е superset/ˈsuːpərset/надмножество : B ⊇ A.

U A B
A ⊆ B — A лежи изцяло в B
U A B
A ∩ B = ∅ — disjoint sets
Сравнение на отношенията
Релация Чете се Условие
A ⊆ B A is a subset of B x ∈ A ⇒ x ∈ B
A ⊂ B A is a proper subset of B A ⊆ B и A ≠ B
A = B A equals B A ⊆ B и B ⊆ A
A ⊈ B A is not a subset of B съществува x ∈ A, за което x ∉ B

Празното множество е подмножество на всяко множество: ∅ ⊆ A за всяко A. Всяко множество е подмножество на себе си: A ⊆ A.

5. Операции с множества

Операция взема едно или две множества и връща ново множество. По-долу всяка операция има формула, диаграма на Вен и таблица на принадлежност. В таблиците 1 означава „елементът е вътре“, 0 — „извън“.

5.1 union/ˈjuːniən/обединение

Обединението съдържа всички елементи, които са в A, в B, или и в двете.

A ∪ B = { x | x ∈ A или x ∈ B }

Пример: ако A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.

U A B
Оцветената област е A ∪ B
Таблица на принадлежност за ∪
x ∈ Ax ∈ Bx ∈ A ∪ B
000
011
101
111
  • Комутативна: A ∪ B = B ∪ A
  • Асоциативна: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • Идемпотентна: A ∪ A = A
  • Неутрален елемент: A ∪ ∅ = A

5.2 intersection/ˌɪntərˈsekʃən/сечение

Сечението съдържа само общите елементи.

A ∩ B = { x | x ∈ A и x ∈ B }

Пример: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} ⇒ A ∩ B = {3}.

U A B
Само припокриването е A ∩ B
Таблица на принадлежност за ∩
x ∈ Ax ∈ Bx ∈ A ∩ B
000
010
100
111
  • Комутативна: A ∩ B = B ∩ A
  • Асоциативна: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • Идемпотентна: A ∩ A = A
  • Ако A и B са disjoint, A ∩ B = ∅

5.3 set difference/set ˈdɪfərəns/разлика на множества

Разликата A \ B (още A − B) съдържа елементите на A, които не са в B. Това е relative complement/ˈrelətɪv ˈkɒmplɪment/относително допълнение.

A \ B = { x | x ∈ A и x ∉ B }

Пример: {1, 2, 3} \ {3, 4} = {1, 2}. Операцията не е комутативна: B \ A = {4}.

U A B
Лявата „луна“ е A \ B
Таблица на принадлежност за \
x ∈ Ax ∈ Bx ∈ A \ B
000
010
101
110
  • A \ A = ∅
  • A \ ∅ = A
  • ∅ \ A = ∅
  • A \ B ⊆ A

5.4 complement/ˈkɒmplɪment/допълнение

Допълнението на A спрямо универсалното множество U съдържа всичко от U, което не е в A. Означения: A′, Ac, A̅ или U \ A.

A′ = { x ∈ U | x ∉ A }

Пример: ако U = {1, 2, 3, 4, 5} и A = {1, 2}, то A′ = {3, 4, 5}.

U A
Всичко извън A, но в U, е A′
Таблица на принадлежност за ′
x ∈ Ax ∈ A′
01
10
  • Двойно допълнение: (A′)′ = A
  • A ∪ A′ = U
  • A ∩ A′ = ∅
  • ∅′ = U и U′ = ∅

5.5 symmetric difference/sɪˈmetrɪk ˈdɪfərəns/симетрична разлика

Симетричната разлика съдържа елементите, които са точно в едно от двете множества — „или A, или B, но не и двете“.

A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Пример: {1, 2, 3} Δ {3, 4} = {1, 2, 4}.

U A B
Двете „луни“, без средата — A Δ B
Таблица на принадлежност за Δ
x ∈ Ax ∈ Bx ∈ A Δ B
000
011
101
110
  • Комутативна: A Δ B = B Δ A
  • Асоциативна: (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
  • A Δ A = ∅
  • A Δ ∅ = A

5.6 Cartesian product/kɑːrˈtiːziən ˈprɒdʌkt/декартово произведение

Декартовото произведение не е област върху диаграма на Вен, а множество от наредени двойки. ordered pair/ˈɔːrdərd peər/наредена двойка (a, b) различава реда: (1, 2) ≠ (2, 1).

A × B = { (a, b) | a ∈ A и b ∈ B }

Ако A = {1, 2} и B = {x, y}, то A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.

Мощност: |A × B| = |A| · |B|. В общия случай A × B ≠ B × A.

Решетка на A × B
A \ B x y
1 (1, x) (1, y)
2 (2, x) (2, y)

5.7 power set/ˈpaʊər set/степенно множество

Степенното множество на A е множеството от всички подмножества на A, включително ∅ и самото A.

P(A) = { S | S ⊆ A }

Ако A = {a, b}, то P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a, b} }.

За крайно множество с n елемента: |P(A)| = 2n.

Подмножества на {1, 2, 3}
Брой елементи Подмножества Колко
0 ∅ 1 = C(3,0)
1 {1}, {2}, {3} 3 = C(3,1)
2 {1,2}, {1,3}, {2,3} 3 = C(3,2)
3 {1,2,3} 1 = C(3,3)

Общо 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ елемента в P({1,2,3}).

5.8 Обобщение на операциите

Един и същ елемент x попада в резултата според таблицата по-долу. За пример: U = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5}.

Сравнение на всички основни операции
Операция Символ Кои елементи влизат Резултат за примера
union A ∪ B от A или от B {1,2,3,4,5}
intersection A ∩ B и от A, и от B {3,4}
difference A \ B от A, но не от B {1,2}
difference B \ A от B, но не от A {5}
symmetric difference A Δ B точно в едното множество {1,2,5}
complement A′ в U, но не в A {5,6}
Cartesian product A × B всички наредени двойки 12 двойки, понеже 4 · 3 = 12
power set P(B) всички подмножества на B 8 подмножества, понеже 2³ = 8

Проверка с inclusion-exclusion: |A| = 4, |B| = 3, |A ∩ B| = 2, следователно |A ∪ B| = 4 + 3 − 2 = 5.

6. Закони и тъждества

Операциите се подчиняват на алгебра, близка до логиката. De Morgan's laws/də ˈmɔːrɡənz lɔːz/закони на Де Морган свързват допълнение, обединение и сечение.

Алгебра на множествата
Име За ∪ За ∩
commutative/kəˈmjuːtətɪv/комутативен A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
associative/əˈsoʊʃiətɪv/асоциативен (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
distributive/dɪˈstrɪbjətɪv/дистрибутивен A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
identity/aɪˈdentəti/неутрален елемент A ∪ ∅ = A A ∩ U = A
idempotent/ˈaɪdəmpoʊtənt/идемпотентен A ∪ A = A A ∩ A = A
absorption/əbˈzɔːrpʃən/поглъщане A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A
De Morgan (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
domination/ˌdɒmɪˈneɪʃən/поглъщане от U / ∅ A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅
U A B
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ — извън двете окръжности

Принцип на включване-изключване (inclusion-exclusion principle/ɪnˈkluːʒən ɪkˈskluːʒən ˈprɪnsəpl/принцип на включване-изключване):

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

За три множества:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

7. Интерактивна практика

Универсумът е U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Избери режим и кликни върху число, за да го добавиш или махнеш от A или B. Резултатите и диаграмата се обновяват веднага.

A ∪ B

8. Речник с изговаряне

Кликни високоговорителя, за да чуеш английския термин. Показани са IPA транскрипция и опростена английска транскрипция с ударение.